A versão original de essa história apareceu em Revista Quanta.
Em 1917, o matemático japonês Sōichi Kakeya apresentou o que a princípio parecia nada mais do que um divertido exercício de geometria. Coloque uma agulha infinitamente fina e com uma polegada de comprimento em uma superfície plana e gire-a de modo que aponte em todas as direções. Qual é a menor área que a agulha pode varrer?
Se você simplesmente girar em torno do centro, obterá um círculo. Mas é possível mover a agulha de maneiras criativas, de modo que você consiga uma quantidade muito menor de espaço. Desde então, os matemáticos colocaram uma versão relacionada desta questão, chamada conjectura de Kakeya. Em suas tentativas de resolvê-lo, eles descobriram conexões surpreendentes com análise harmônicateoria dos números e até física.
“De alguma forma, esta geometria de linhas apontando em muitas direções diferentes é onipresente em grande parte da matemática”, disse Jonathan Hickman da Universidade de Edimburgo.
Mas também é algo que os matemáticos ainda não entendem completamente. Nos últimos anos, eles provaram variações da conjectura de Kakeya em configurações mais fáceis, mas a questão permanece sem solução no espaço tridimensional normal. Durante algum tempo, parecia que todo o progresso tinha estagnado nessa versão da conjectura, apesar de ela ter inúmeras consequências matemáticas.
Agora, dois matemáticos moveram a agulha, por assim dizer. Sua nova prova derruba um grande obstáculo que existe há décadas – reacendendo a esperança de que uma solução possa finalmente estar à vista.
Qual é o pequeno negócio?
Kakeya estava interessado em conjuntos no plano que contêm um segmento de linha de comprimento 1 em todas as direções. Existem muitos exemplos de tais conjuntos, sendo o mais simples um disco com diâmetro de 1. Kakeya queria saber como seria o menor conjunto desse tipo.
Ele propôs um triângulo com lados ligeiramente desabados, chamado deltóide, que tem metade da área do disco. Descobriu-se, porém, que é possível fazer muito, muito melhor.
O deltóide à direita tem metade do tamanho do círculo, embora ambas as agulhas girem em todas as direções.Vídeo: Merrill Sherman/Revista Quanta
Em 1919, apenas alguns anos depois de Kakeya ter apresentado o seu problema, o matemático russo Abram Besicovitch mostrou que, se organizarmos as agulhas de uma forma muito particular, podemos construir um conjunto de aparência espinhosa com uma área arbitrariamente pequena. (Devido à Primeira Guerra Mundial e à Revolução Russa, o seu resultado só chegaria ao resto do mundo matemático durante vários anos.)
Para ver como isso funciona, pegue um triângulo e divida-o ao longo de sua base em pedaços triangulares mais finos. Em seguida, deslize essas peças para que elas se sobreponham tanto quanto possível, mas se projetem em direções ligeiramente diferentes. Ao repetir o processo inúmeras vezes – subdividindo seu triângulo em fragmentos cada vez mais finos e reorganizando-os cuidadosamente no espaço – você pode tornar seu conjunto tão pequeno quanto desejar. No limite infinito, você pode obter um conjunto que matematicamente não tem área, mas ainda pode, paradoxalmente, acomodar uma agulha apontando em qualquer direção.
“Isso é surpreendente e contra-intuitivo”, disse Rui Xiang Zhang da Universidade da Califórnia, Berkeley. “É um conjunto muito patológico.”
