O que é melhor, de acordo com o matemático italiano Alessio Figalli

As palavras “ideais” e “otimizar” derivam do latim “Optimus” ou “Best”, como em “Make o melhor das coisas”. Alessio Figalli, matemático da Universidade ETH Zurique, estuda o transporte ideal: a alocação mais eficiente dos pontos de partida para os pontos finais. O escopo da investigação é amplo, incluindo nuvens, cristais, bolhas e chatbots.

O Dr. Figalli, que recebeu a medalha de campos em 2018, gosta de matemática motivada por problemas concretos encontrados na natureza. Ele também gosta do “sentimento de eternidade” da disciplina, disse ele em uma entrevista recente. “É algo que estará aqui para sempre.” (Nada é para sempre, ele admitiu, mas a matemática estará por perto por “por tempo suficiente”) “Gosto do fato de que, se você provar um teorema, você prova isso”, disse ele. “Não há ambiguidade, é verdade ou falsa. Em cem anos, você pode confiar nisso, não importa o quê. ”

O estudo do transporte ideal foi introduzido há quase 250 anos por Gaspard Monge, um matemático e político francês que foi motivado por problemas na engenharia militar. Suas idéias encontraram aplicativos mais amplos para resolver problemas logísticos durante a era napoleônica – por exemplo, identificando a maneira mais eficiente de construir fortificações, a fim de minimizar os custos do transporte de materiais pela Europa.

Em 1975, o matemático russo Leonid Kantorovich compartilhou o Nobel em Ciência Econômica para refinar uma teoria matemática rigorosa para a alocação ideal de recursos. “Ele teve um exemplo com padarias e cafeterias”, disse Figalli. A meta de otimização nesse caso era garantir que, diariamente, todas as padaria entregassem todos os seus croissants, e todos os cafeterias recebessem todos os croissants desejados.

“É chamado de um problema global de otimização de bem -estar, no sentido de que não há concorrência entre padarias, nenhuma concorrência entre cafeterias”, disse ele. “Não é como otimizar a utilidade de um jogador. Está otimizando a utilidade global da população. E é por isso que é tão complexo: porque se uma padaria ou uma cafeteria faz algo diferente, isso influenciará todos os outros. ”

A conversa seguinte com o Dr. Figalli – realizada em um evento na cidade de Nova York organizada pelo Instituto de Ciências Matemáticas de Simons Laufer e em entrevistas antes e depois – foi condensado e editado por clareza.

Como você terminaria a frase “Matemática é …”? O que é matemática?

Para mim, a matemática é um processo criativo e um idioma para descrever a natureza. A razão pela qual a matemática é a maneira como é é porque os humanos perceberam que era a maneira certa de modelar a Terra e o que eles estavam observando. O que é fascinante é que ele funciona tão bem.

A natureza está sempre procurando otimizar?

A natureza é naturalmente um otimizador. Tem um princípio de energia mínima-a natureza por si só. Então, é claro, fica mais complexo quando outras variáveis ​​entram na equação. Depende do que você está estudando.

Quando eu estava aplicando o transporte ideal à meteorologia, estava tentando entender o movimento das nuvens. Foi um modelo simplificado, onde algumas variáveis ​​físicas que podem influenciar o movimento das nuvens foram negligenciadas. Por exemplo, você pode ignorar o atrito ou o vento.

O movimento de partículas de água nas nuvens segue um caminho de transporte ideal. E aqui você está transportando bilhões de pontos, bilhões de partículas de água, para bilhões de pontos, por isso é um problema muito maior que 10 padarias a 50 cafeterias. Os números crescem enormemente. É por isso que você precisa de matemática para estudá -lo.

E o transporte ideal capturou seu interesse?

Fiquei muito empolgado com as aplicações e pelo fato de a matemática ser muito bonita e veio de problemas muito concretos.

Existe uma troca constante entre o que a matemática pode fazer e o que as pessoas exigem no mundo real. Como matemáticos, podemos fantasiar. Gostamos de aumentar as dimensões – trabalhamos no espaço dimensional infinito, o que as pessoas sempre pensam ser um pouco louco. Mas é o que nos permite usar agora celulares e Google e toda a tecnologia moderna que temos. Tudo não existiria se os matemáticos não tivessem sido loucos o suficiente para sair dos limites padrão da mente, onde vivemos apenas em três dimensões. A realidade é muito mais do que isso.

Na sociedade, o risco é sempre que as pessoas apenas veem a matemática como importantes quando vêem a conexão com os aplicativos. Mas é importante além disso – o pensamento, os desenvolvimentos de uma nova teoria que surgiu através da matemática ao longo do tempo que levou a grandes mudanças na sociedade. Tudo é matemática.

E muitas vezes a matemática veio primeiro. Não é que você acorde com uma pergunta aplicada e encontre a resposta. Geralmente, a resposta já estava lá, mas estava lá porque as pessoas tinham tempo e liberdade para pensar grande. A outra maneira ao redor pode funcionar, mas de uma maneira mais limitada, problema por problema. Grandes mudanças geralmente acontecem por causa do pensamento livre.

A otimização tem seus limites. A criatividade não pode realmente ser otimizada.

Sim, a criatividade é o oposto. Suponha que você esteja fazendo uma boa pesquisa em uma área; Seu esquema de otimização faria você ficar lá. Mas é melhor correr riscos. Falha e frustração são fundamentais. Grandes avanços, grandes mudanças, sempre vêm porque, em algum momento, você está tirando -se da sua zona de conforto, e isso nunca será um processo de otimização. Otimizar tudo resulta em falta de oportunidades às vezes. Eu acho que é importante realmente valorizar e ter cuidado com o que você otimiza.

O que você está trabalhando hoje em dia?

Um desafio é usar o transporte ideal no aprendizado de máquina.

Do ponto de vista teórico, o aprendizado de máquina é apenas um problema de otimização em que você tem um sistema e deseja otimizar alguns parâmetros ou recursos, para que a máquina faça um certo número de tarefas.

Para classificar as imagens, o transporte ideal mede como duas imagens são semelhantes comparando recursos como cores ou texturas e colocando esses recursos em alinhamento – transportando -os – entre as duas imagens. Essa técnica ajuda a melhorar a precisão, tornando os modelos mais robustos a mudanças ou distorções.

Estes são fenômenos muito de alta dimensão. Você está tentando entender objetos que possuem muitos recursos, muitos parâmetros e todos os recursos correspondem a uma dimensão. Portanto, se você tiver 50 recursos, você estará no espaço 50-dimensional.

Quanto maior a dimensão em que o objeto vive, mais complexo é o problema ideal de transporte – requer muito tempo, muitos dados para resolver o problema e você nunca poderá fazê -lo. Isso é chamado de maldição da dimensionalidade. Recentemente, as pessoas têm tentado procurar maneiras de evitar a maldição da dimensionalidade. Uma idéia é desenvolver um novo tipo de transporte ideal.

Qual é a essência disso?

Ao desmoronar alguns recursos, reduzi meu transporte ideal para um espaço inferior dimensional. Digamos que três dimensões sejam muito grandes para mim e eu quero torná-lo um problema unidimensional. Eu tomo alguns pontos no meu espaço tridimensional e os projetei em uma linha. Eu resolvo o transporte ideal na linha, calculava o que devo fazer e repito isso para muitas, muitas linhas. Em seguida, usando esses resultados na dimensão um, tento reconstruir o espaço 3D original por uma espécie de colagem. Não é um processo óbvio.

Parece a sombra de um objeto-uma sombra bidimensional e quadrada fornece algumas informações sobre o cubo tridimensional que lança a sombra.

É como sombras. Outro exemplo são os raios-X, que são imagens 2-D do seu corpo 3D. Mas se você fizer raios-x em direções suficientes, poderá montar as imagens e reconstruir seu corpo.

Conquistar a maldição da dimensionalidade ajudaria com as deficiências e limitações da IA?

Se usarmos algumas técnicas ideais de transporte, talvez isso possa tornar alguns desses problemas de otimização no aprendizado de máquina mais robustos, mais estáveis, mais confiáveis, menos tendenciosos, mais seguros. Esse é o meta princípio.

E, na interação de matemática pura e aplicada, aqui a necessidade prática do mundo real está motivando a nova matemática?

Exatamente. A engenharia do aprendizado de máquina está muito à frente. Mas não sabemos por que funciona. Existem poucos teoremas; Comparando o que pode alcançar com o que podemos provar, há uma enorme lacuna. É impressionante, mas matematicamente ainda é muito difícil explicar o porquê. Portanto, não podemos confiar o suficiente. Queremos melhorar em muitas direções e queremos que a matemática ajude.