A versão original de essa história apareceu em Revista Quanta.
Às vezes, os matemáticos tentam enfrentar um problema de frente, e às vezes eles o abordam de lado. Isso é especialmente verdadeiro quando os riscos matemáticos são altos, como com a hipótese de Riemann, cuja solução vem com uma recompensa de US$ 1 milhão do Clay Mathematics Institute. Sua prova daria aos matemáticos uma certeza muito mais profunda sobre como os números primos são distribuídos, ao mesmo tempo em que implicaria uma série de outras consequências — tornando-a indiscutivelmente a questão em aberto mais importante da matemática.
Os matemáticos não têm ideia de como provar a hipótese de Riemann. Mas eles ainda podem obter resultados úteis apenas mostrando que o número de exceções possíveis a ela é limitado. “Em muitos casos, isso pode ser tão bom quanto a própria hipótese de Riemann”, disse James Maynard da Universidade de Oxford. “Podemos obter resultados semelhantes sobre números primos a partir disto.”
Em um resultado inovador postado online em maio, Maynard e Larry Guth do Instituto de Tecnologia de Massachusetts estabeleceu um novo limite para o número de exceções de um tipo específico, finalmente batendo um recorde que havia sido estabelecido mais de 80 anos antes. “É um resultado sensacional”, disse Henrique Iwaniec da Universidade Rutgers. “É muito, muito, muito difícil. Mas é uma joia.”
A nova prova leva automaticamente a melhores aproximações de quantos números primos existem em intervalos curtos na reta numérica e pode oferecer muitos outros insights sobre como os números primos se comportam.
Um passo lateral cuidadoso
A hipótese de Riemann é uma declaração sobre uma fórmula central na teoria dos números chamada função zeta de Riemann. A função zeta (ζ) é uma generalização de uma soma direta:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.
Esta série se tornará arbitrariamente grande à medida que mais e mais termos forem adicionados a ela — os matemáticos dizem que ela diverge. Mas se, em vez disso, você fosse somar
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯
você obteria π2/6, ou cerca de 1,64. A ideia surpreendentemente poderosa de Riemann era transformar uma série como essa em uma função, assim:
ζ(e) = 1 + 1/2e + 1/3e + 1/4e + 1/5e + ⋯.
Então ζ(1) é infinito, mas ζ(2) = π2/6.
As coisas ficam realmente interessantes quando você deixa e ser um número complexo, que tem duas partes: uma parte “real”, que é um número cotidiano, e uma parte “imaginária”, que é um número cotidiano multiplicado pela raiz quadrada de −1 (ou eucomo os matemáticos escrevem). Os números complexos podem ser plotados em um plano, com a parte real no x-eixo e a parte imaginária no e-eixo. Aqui, por exemplo, é 3 + 4eu.
Gráfico: Mark Belan para Quanta Magazine
