Descobrir quais subgrupos um grupo contém é uma forma de compreender sua estrutura. Por exemplo, os subgrupos de Z6 são {0}, {0, 2, 4} e {0, 3} — o subgrupo trivial, os múltiplos de 2 e os múltiplos de 3. No grupo D6as rotações formam um subgrupo, mas as reflexões não. Isso porque duas reflexões realizadas em sequência produzem uma rotação, e não uma reflexão, assim como a soma de dois números ímpares resulta em um número par.
Certos tipos de subgrupos chamados subgrupos “normais” são especialmente úteis para os matemáticos. Em um grupo comutativo, todos os subgrupos são normais, mas isso nem sempre é verdade de forma mais geral. Esses subgrupos retêm algumas das propriedades mais úteis da comutatividade, sem forçar todo o grupo a ser comutativo. Se uma lista de subgrupos normais puder ser identificada, os grupos poderão ser divididos em componentes da mesma forma que os números inteiros podem ser divididos em produtos de números primos. Os grupos que não possuem subgrupos normais são chamados de grupos simples e não podem mais ser decompostos, assim como os números primos não podem ser fatorados. O grupo Zn é simples apenas quando n é primo – os múltiplos de 2 e 3, por exemplo, formam subgrupos normais em Z6.
No entanto, grupos simples nem sempre são tão simples. “É o maior equívoco em matemática”, disse Hart. Em 1892, o matemático Otto Hölder propôs que os pesquisadores reunissem uma lista completa de todos os grupos simples finitos possíveis. (Grupos infinitos, como os inteiros, formam seu próprio campo de estudo.)
Acontece que quase todos os grupos finitos simples se parecem Zn (para valores primos de n) ou pertencer a uma de duas outras famílias. E há 26 exceções, chamadas de grupos esporádicos. Fixá-los e mostrar que não há outras possibilidades levou mais de um século.
O maior grupo esporádico, apropriadamente chamado de grupo monstro, foi descoberto em 1973. Ele tem mais de 8 × 1054 elementos e representa rotações geométricas em um espaço com quase 200.000 dimensões. “É uma loucura que esta coisa possa ser encontrada por humanos”, disse Hart.
Na década de 1980, a maior parte do trabalho que Hölder havia solicitado parecia ter sido concluída, mas era difícil mostrar que não havia mais grupos esporádicos por aí. A classificação foi ainda mais adiada quando, em 1989, a comunidade encontrou lacunas numa prova de 800 páginas do início da década de 1980. Uma nova prova foi finalmente publicado em 2004, encerrando a classificação.
Muitas estruturas da matemática moderna – anéis, campos e espaços vetoriais, por exemplo – são criadas quando mais estrutura é adicionada aos grupos. Nos anéis, você pode multiplicar, bem como somar e subtrair; em campos, você também pode dividir. Mas por baixo de todas estas estruturas mais complexas está a mesma ideia original de grupo, com os seus quatro axiomas. “A riqueza que é possível dentro desta estrutura, com estas quatro regras, é alucinante”, disse Hart.
História original reimpresso com permissão de Revista Quantauma publicação editorialmente independente do Fundação Simons cuja missão é melhorar a compreensão pública da ciência, cobrindo desenvolvimentos e tendências de pesquisa em matemática e ciências físicas e biológicas.
