A função de dente de serra que quebrou o cálculo

A versão original de esta história apareceu em Revista Quanta.

O cálculo é uma poderosa ferramenta matemática. Mas por centenas de anos após sua invenção no século XVII, ficou em uma fundação instável. Seus conceitos principais estavam enraizados na intuição e argumentos informais, em vez de definições formais e precisas.

Duas escolas de pensamento surgiram em resposta, de acordo com Michael Baranyum historiador de matemática e ciências da Universidade de Edimburgo. Os matemáticos franceses estavam em geral conteúdo em continuar. Eles estavam mais preocupados em aplicar o cálculo a problemas na física – usando -o para calcular as trajetórias dos planetas, por exemplo, ou para estudar o comportamento das correntes elétricas. Mas no século XIX, os matemáticos alemães começaram a derrubar as coisas. Eles partiram para encontrar contra-exemplos que prejudicariam as suposições de longa data e, eventualmente, usariam esses contra-exemplos para colocar cálculo em uma base mais estável e durável.

Um desses matemáticos era Karl Weierstrass. Embora ele tenha mostrado uma aptidão precoce para a matemática, seu pai o pressionou a estudar finanças e administração públicas, com o objetivo de ingressar no Serviço Civil da Prússia. Diz -se que Weierstrass passou a maior parte do tempo bebendo e cercando; No final da década de 1830, depois de não se formar, ele se tornou um professor do ensino médio, dando lições de tudo, desde matemática e física até caligrafia e ginástica.

Weierstrass não começou sua carreira como matemático profissional até os 40 anos. Mas ele continuava transformando o campo, introduzindo um monstro matemático.

Os pilares do cálculo

Em 1872, Weierstrass publicou uma função que ameaçava tudo o que os matemáticos pensavam que eles entendiam sobre o cálculo. Ele foi recebido com indiferença, raiva e medo, particularmente dos gigantes matemáticos da Escola de Pensamento Francês. Henri Poincaré condenou a função de Weierstrass como “uma indignação contra o senso comum”. Charles Hermite chamou de “mal deplorável”.

Para entender por que o resultado de Weierstrass foi tão irritante, ajuda primeiro a entender dois dos conceitos mais fundamentais do cálculo: continuidade e diferença.

Uma função contínua é exatamente o que parece – uma função que não tem lacunas ou saltos. Você pode rastrear um caminho de qualquer ponto em tal função para qualquer outro sem levantar o lápis.

O cálculo está em grande parte sobre determinar a rapidez com que essas funções contínuas mudam. Funciona, frouxamente falando, aproximando uma determinada função com linhas retas e não verticais.